MATEMÁTICAS

Distancia Punto Recta

¿A qué distancia pasa la recta $3\,x + 4\,y + 15 = 0$ del origen?

Este problema es equivalente a la siguiente solicitud:

Calcula la distancia desde la recta $3\,x + 4\,y + 15 = 0$ hasta el punto $P(0,0)$ .

Ahora que conocemos los datos, basta sustituir en la fórmula de distancia de un punto a una recta y realizar las operaciones que quedan indicadas:

$\begin{eqnarray*} D &=& \frac{|\textcolor{blue}{A}\,\textcolor{red}{x_1} + \textcolor{blue}{B}\,\textcolor{red}{y_1} + \textcolor{blue}{C}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{A}^2 + \textcolor{blue}{B}^2}}\\ &=& \frac{|\textcolor{blue}{3}\,(\textcolor{red}{0}) - \textcolor{blue}{4}\,(\textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{15}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{blue}{4}^2}} = \frac{|0 - 0 + 15|}{\sqrt{25}}\\ &=& \frac{|15|}{5} = 3 \end{eqnarray*}$

Entonces, la recta pasa a 3 unidades del origen. Para graficar la recta podemos transformarla a la forma simétrica:

$\begin{eqnarray*} 3\,x + 4\,y + 15 &=& 0 \\ 3\,x + 4\,y &=& -15 \\ \frac{3\,x}{-15} + \frac{4\,y}{-15} &=& \frac{-15}{-15}\\ \frac{x}{-5} + \frac{y}{-15/4} &=& 1 \end{eqnarray*}$

Ahora podemos graficar la recta y mostrar que la distancia al origen es de 3 unidades:

La fórmula para encontrar la distancia de un punto a una recta tiene muchas aplicaciones, sobre todo en problemas de lugar geométrico.

En la siguiente unidad vamos a encontrar el lugar geométrico del punto $P(x,y)$ que se mueve de tal manera que su distancia a una recta es igual a la distancia a otro punto $F(h,k)$ que no se encuentra sobre la recta.

Los problemas que podemos resolver con esta fórmula son muy diversos.

Video con explicación sobre el tema:

https://www.youtube.com/watch?v=9NVdP_uFxTw

Ecuación simétrica de la Recta

Ecuación simétrica de la recta

La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.

a es la abscisa en el origen de la recta.

b es la ordenada en el origen de la recta.

Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general.

Si y = 0 resulta x = a.

Si x = 0 resulta y = b.

Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos:

1.-Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n

2.-Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k
3.-Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx.

Video con explicación sobre el tema:

https://www.youtube.com/watch?v=AQhsWmcB9ZY

Demostración de la ecuación de la circunferencia

Demostración de la ecuación de la circunferencia (origen)

Ecuación de la circunferencia con centro (0, 0)

Para hallar la circunferencia con centro en el origen sera necesario conocer el radio de esta o un punto por donde pasa la circunferencia, cuando se conoce el radio sera más sencillo puesto que la ecuación tendrá como estructura

, luego al hallar el radio únicamente conoceremos la ecuación terminada, cuando conocemos un punto de la circunferencia deberemos usar la ecuación de distancia y hallaremos el radio.

Circunferencia con centro en el origen (dado su radio)

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen cuyo radio es 7m.

Ecuación de circunferencia con C(0,0) y que pasa por P(4, 3)

Ejemplo:

Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro en el origen y un punto en (0, 3).

En este momento ya se conoce el radio que es igual a 3 ya que la distancia es igual al diámetro (en el caso de este ejercicio).

Asi que ya se podrá estructurar la ecuación que quedara como:

Demostración de la ecuación de la circunferencia (no origen)

Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura

Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:

Método por desarrollo y método con las fórmulas conocidas.

Método por desarrollo

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será

donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3) entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como

Nota: algunos usan otras letras, como

Sigamos.

Tenemos nuestra ecuación ordinaria

y desarrollamos sus dos binomios:

Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:

que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2, ─3 y cuyo radio es 5.

Método con las fórmulas conocidas

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas

Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b)

Entonces, hacemos:

F = 4 + 9 ─ 25 = ─12

Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos

obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo.

Ecuación ordinaria de una circunferencia dado su centro y radio

Ecuación ordinaria de la circunferencia

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h, k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2, 6) y con radio r = 4.

Centro y radio de una circunferencia (no origen) dada su ecuación

Ejemplo:

Dada la circunferencia de ecuación

, hallar el centro y el radio.

Ecuación general de la circunferencia dado su centro y radio

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así: