miércoles, 6 de noviembre de 2019

Distancia Punto Recta


¿A qué distancia pasa la recta 3\,x + 4\,y + 15 = 0 del origen?
Este problema es equivalente a la siguiente solicitud:

Calcula la distancia desde la recta 3\,x + 4\,y + 15 = 0 hasta el punto P(0,0).

Ahora que conocemos los datos, basta sustituir en la fórmula de distancia de un punto a una recta y realizar las operaciones que quedan indicadas:
  
\begin{eqnarray*} D &=& \frac{|\textcolor{blue}{A}\,\textcolor{red}{x_1} + \textcolor{blue}{B}\,\textcolor{red}{y_1} + \textcolor{blue}{C}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{A}^2 + \textcolor{blue}{B}^2}}\\ &=& \frac{|\textcolor{blue}{3}\,(\textcolor{red}{0}) - \textcolor{blue}{4}\,(\textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{15}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{blue}{4}^2}} = \frac{|0 - 0 + 15|}{\sqrt{25}}\\ &=& \frac{|15|}{5} = 3 \end{eqnarray*}

Entonces, la recta pasa a 3 unidades del origen. Para graficar la recta podemos transformarla a la forma simétrica:
  
\begin{eqnarray*} 3\,x + 4\,y + 15 &=& 0 \\ 3\,x + 4\,y &=& -15 \\ \frac{3\,x}{-15} + \frac{4\,y}{-15} &=& \frac{-15}{-15}\\ \frac{x}{-5} + \frac{y}{-15/4} &=& 1 \end{eqnarray*}

Ahora podemos graficar la recta y mostrar que la distancia al origen es de 3 unidades:
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La fórmula para encontrar la distancia de un punto a una recta tiene muchas aplicaciones, sobre todo en problemas de lugar geométrico.
En la siguiente unidad vamos a encontrar el lugar geométrico del punto P(x,y) que se mueve de tal manera que su distancia a una recta es igual a la distancia a otro punto F(h,k) que no se encuentra sobre la recta.
Los problemas que podemos resolver con esta fórmula son muy diversos.

Video con explicación sobre el tema: 
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